Рецензия на книгу: дифференциальная геометрия Клиффа Таубса: расслоения, метрики, связности и кривизна

Дифференциальная геометрия — это раздел высшей математики, в котором, вероятно, больше учебников, чем любого другого. У этого есть некоторая реальная классика, которую все соглашаются, что, по крайней мере, должны быть рассмотрены. Каждый и его двоюродный брат, похоже, в последнее время пытаются написать «Большой американский учебник по дифференциальной геометрии». Это действительно легко понять, почему: предмет дифференциальной геометрии является не только одним из самых красивых и увлекательных приложений дифференциального и топологического исчисления, но и одним из самых мощных. Язык разнообразия является естественным языком большинства аспектов как классической, так и современной физики — ни общая теория относительности, ни физика элементарных частиц не могут быть должным образом выражены без концепции координатных графиков на различных многообразиях, группах Ли и расслоениях. Я действительно с нетерпением ждал готового текста, основанного на лекциях Math 230 Клиффа Таубса о первом курсе для выпускников первого курса Гарвардского университета, который он читал там и много лет. Книга признанного предметного мастера должна приветствоваться, потому что вы можете надеяться донести взгляд исследователя до материала.

Что ж, книга наконец-то здесь, и мне жаль, что я знаю, что это немного разочаровывает. Темы, обсуждаемые в этой книге, являются типичными подозреваемыми в исследованиях первого года, хотя и на несколько более высоком уровне, чем обычно: гладкие многообразия, группы Ли, векторные расслоения, метры на векторных расслоениях, римановы меры, геодезия на римановых многообразиях, главные расслоения, ковариантные производные и связности , голономия, полиномы кривизны и характеристические классы, тензор римановой кривизны, комплексные многообразия, голоморфные подпапки комплексных многообразий и келеровы метрики. С другой стороны, он ОЧЕНЬ хорошо написан и охватывает практически весь современный ландшафт современной дифференциальной геометрии. Презентация очень независима, учитывая, что все это, книга имеет 298 страниц и состоит из 19 глав размером укуса. Профессор Таубс дает подробные, но краткие доказательства основных результатов, что подтверждает его авторитет в этом вопросе. Таким образом, огромное количество покрывается очень эффективно, но достаточно четко. Каждая глава содержит подробную библиографию для дополнительного чтения, которая является одним из наиболее интересных аспектов книги — автор комментирует другие работы и их влияние на ее представление. Он надеется, что он вдохновит своих учеников читать другие рекомендуемые статьи одновременно с его, что демонстрирует превосходную образовательную ценность автора. К сожалению, этот подход — обоюдоострый меч, потому что он идет рука об руку с одним из недостатков книги, которого мы скоро достигнем.

Таубс действительно пишет очень хорошо, и он дает свою презентацию со многими взглядами. Кроме того, в каждом разделе есть много хороших и удачно выбранных примеров, которые я считаю очень важными. Он даже включает материал со сложными многообразиями и теорию Ходжа, которую избегают большинство выпускников из начинающих учебников из-за технических тонкостей разделения строго дифференциально-геометрических аспектов от алгебраических аспектов. Что здесь действительно очень хорошо. (Интересно, что Таубс объясняет свое влияние тем, что эта книга является легендарным курсом Рауля Ботта в Гарварде. Поэтому многие недавние учебники и конспекты лекций по этому вопросу приписываются Ботту с вдохновением: Лоринг Ту Введение в коллекционеровЗаметки из лекции Ко Хонды о USCD, Лоуренс Конлон Отличительные коллекционеры среди самых выдающихся. Очень унизительно, как один эксперт может определить тему для поколения.)

К сожалению, есть 3 проблемы с книгой, которые делают ее немного разочаровывающей, и все они связаны с тем, что не в книге. Первая и самая серьезная проблема с книгой Таубса заключается в том, что это вовсе не учебник, а набор рефератов. Имеет ноль Действительно, книга выглядит так, будто издательство Oxford University Press только что взяло окончательную версию интернет-заметок Таубса и наклеило на нее обложку. Это не значит, что это необходимо плохой Конечно, одним из лучших источников дифференциальной геометрии (и продвинутой математики в целом) являются лекционные заметки (вспоминаются классические заметки С.С.Корна и Джона Милнорса). Но для занятий и того, за что вы хотите заплатить немалые деньги — вам действительно нужно нечто большее, чем просто распечатанный набор лекционных заметок, которые кто-то может бесплатно скачать из Интернета.

Их также гораздо сложнее использовать в качестве учебника, потому что вам нужно искать упражнения в другом месте. Я не думаю, что правильный набор упражнений от автора, который разработал текст проверка того, действительно ли вы понимаете, — это слишком много, чтобы просить что-то, что вы тратите 30-40 долларов, верно? Является ли это реальной мотивацией для очень подробных и формирующих мнение ссылок на каждую главу — студентам предлагается не только взглянуть на некоторые из них одновременно, но и требуется найти свои собственные упражнения? Если так, это действительно должно быть специально написано и показывать некоторую лень со стороны автора. Когда это набор лекционных заметок, предназначенных для создания основы для реального курса, в котором преподаватель ведет студентов через литературу о том, чего не хватает, это работает хорошо. Фактически, это может быть еще более захватывающий и продуктивный курс для студентов. Но если вы пишете учебник, он действительно должен быть полностью независимым, чтобы любые другие ссылки, которые вы предлагаете, были строго определены опциональный, Каждый курс индивидуален, и если в книге нет собственных упражнений, которые сильно ограничивают зависимость курса от текста. Я уверен, что у Таубса есть все проблемы из разных частей исходного курса — я сильно побудить его включить большой набор из них во второе издание.

Вторая проблема, хотя и не такая серьезная, как первая, заключается в том, что исследователь, работающий с Таубсом, может быть более креативным и понять, для чего все эти хорошие вещи. Хорошо, конечно, это текст для начинающих, и вы не можете зайти слишком далеко от основного учебника, потому что он будет бесполезен в качестве основы для последующих исследований. Тем не менее, последняя глава, в которой обобщается текущее состояние дел в дифференциальной геометрии с использованием всех разработанных механизмов — особенно в области математической физики — очень поможет новичку в захватывающем взгляде на ведущую позицию в области чистой и прикладной математики. Иногда он отвлекается, чтобы получить оригинальный материал, который обычно не упоминается в таких книгах: например, метрика Шварцшильда. Но он не указывает, почему это важно, или его роль в общей теории относительности.

Наконец — в книге практически нет картинок. Никто. Ноль. Нада. Хорошо, конечно, это текст уровня магистра, и выпускники должны действительно нарисовать свои собственные фотографии. Но для меня одна из вещей, которая делает дифференциальную геометрию настолько увлекательной, это то, что это такая визуальная и интуитивная тема: на классическом курсе DG вы можете почувствовать, что если вы достаточно умны, вы можете доказать все с помощью картинки , Презентация полностью формального невизуального представления устраняет большую часть этого концептуального возбуждения и делает его более сухим и менее интересным, чем на самом деле. В этом втором выпуске я рассмотрю некоторые визуальные элементы. Вам не нужно добавлять много, если вы пурист. Но некоторые, особенно в главах о характерных классах и сечениях расслоений векторов и слоев, в значительной степени объяснят эти части.

Итак, окончательный вердикт? Очень надежный источник, из которого вы можете впервые изучить DG на уровне магистратуры, но вам нужно будет интенсивно дополнять его, чтобы восполнить недостатки. К счастью, каждая глава содержит очень хороший набор ссылок. Из них вы можете легко выбрать хорошее дополнительное чтение и упражнения. Я очень рекомендую классику Guillemin и Pollack Дифференциальная топология в качестве начального чтения — трилогию Джона М. Ли, а для дополнительного чтения и упражнений — удивительный двухтомный физически ориентированный текст Геометрия, топология и поля измерений Грегори Набера за связи и приложения в физике, а также за множество хороших фотографий и конкретных расчетов. Для более глубокого представления сложной дифференциальной геометрии, попробуйте классику Уэллса и новый текст Сложная дифференциальная геометрия автор: Чжан. Все эти элементы дополняют Таубса, поэтому вы будете в отличной форме круглый год в современной дифференциальной геометрии.